Flächenberechnung in der Analysis

In der Analysis werden häufig die Flächen unter einem Graphen berechnet, auch in der Physik haben diese Flächen eine Bedeutung.



Um die Fläche unter einer Funktion bestimmen zu können, benötigt man die sogenannte Integralrechnung, sie ist eine Art Flächenberechnung. Bei der Berechnung von Flächen unter einer krummlinigen Funktion kann nicht mehr mit Länge und Breite berechnet werden.
Die grundlegende Überlegung ist auch bei der Integralrechnung, die Fläche durch viele kleine Rechtecke der Breite b und der Höhe h anzunähern. Die Summe dieser Teilflächen ergibt die Gesamtfläche.
Die Ergebnisse werden mit zunehmend kleiner werdenden Rechtecken oder auch Dreiecken immer genauer, allerdings kann die Fläche nur ganz genau stimmen wenn Sie die Teilflächen unendlich kleiner machen.




Was ist die Integralrechnung?

Die Integralrechnung ist rechnerisch die Umkehr-Rechnung der Differentialrechnung, anstatt abzuleiten sucht man sich also eine Funktion die abgeleitet die gegebene Funktion ergibt.


f = 2x
F = x²


Großbuchstaben beschreiben hier immer die Stammfunktion und kleine Funktion die gegebene Funktion. Die Ableitung der Stammfunktion ergibt die 1. Ableitung und wieder die Ausgangsfunktion der Integration.

Die Integralschreibweise erfolgt durch das Integralzeichen:


∫ f = F
∫ 2x = x²


Die Integral Rechnung findet in viele Physikalischen Bereichen Anwendung, bei denen eine bestimmte größe durch integrieren einer anderen gebildet wird:

BeispielFormel
Feder ArbeitDW = ∫ Fdx
Geschwindigkeitv(t) = ∫ a dt
Weg einer Beschleunigten Bewegungs(t) = ∫ v(t)


Das folgende Youtube Video ist eine gute Einführung in die Integralrechnung.